La enseñanza de la modelación y simulación matemáticas a través de las ecuaciones diferenciales
Actualizado: 23 feb 2020
Autor: Carlos Diez Fonnegra
Universidad Konrad Lorenz
Bogotá, Colombia
Muchos fenómenos de variación en el mundo se explican con bastante claridad desde el lenguaje de las matemáticas, esto se debe a que no siempre se conoce la relación funcional entre dos o más variables, pero sí la relación entre las variaciones. Desde esta sencilla idea, el aprendizaje de los elementos subyacentes a las ecuaciones diferenciales cobra un sentido valiosísimo.
La mayoría de los fenómenos que son explicados elegantemente como una ecuación diferencial, tienen soluciones que operativamente son extremas, o son muy sencillas, o muy difíciles (incluidas las imposibles). Si entonces, mejor se ofrece un aprendizaje de las ecuaciones diferenciales como la traducción matemática de los fenómenos variacionales y no como el recuento de los métodos que permiten encontrar Y(X) a partir del conocimiento de D(Y(X)), métodos que, no solo no son exhaustivos, sino que muchas veces serán fútiles para los problemas reales que requerirán estrategias cualitativas o análisis adicionales a los algorítmicos para poder ser usados.
Con esta idea en mente se propuso en la Fundación Universitaria Konrad Lorenz desde el año 2016, el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) como un curso de modelación matemática. El curso tiene grandes pretensiones, promoviendo en los estudiantes la curiosidad y el paso constante entre la realidad y la matematización posible de la realidad, haciendo que durante tres años se haya trascendido el uso de los fenómenos más comunes propuestos en los libros de texto: el movimiento uniformemente acelerado, el crecimiento población, la difusión, el decaimiento de la temperatura, el resorte amortiguado, el fenómeno predador – presa, para pasar a la modelación de fenómenos como: la divulgación de una información (los chismes), el desgaste de las gomas, historias de amor y de guerra, el rendimiento de un jugador de fútbol, las epidemias apocalípticas, la eficiencia del personal de un contact center, la eficiencia de un medicamento en un paciente con cáncer, los accidentes de tránsito, entre muchos otros que permiten ilustrar cómo una ecuación diferencial ordinaria puede ser una fuente de explicación por sí misma y su solución entonces cobra un sentido natural, obtener la relación.
La articulación del curso con los fenómenos se propone a partir del tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias que permiten explicar y predecir los mismos. Es así como la estructura de la contextualización materializada en la modelación de los fenómenos permite estructurar cada clase y cada módulo del curso (Bravo-Bohórquez, Castañeda-Rodriguez, Hernández-Yomayusa, & Hernández-Hernández, 2016)
El fenómeno se comprende de manera suficiente hasta que los estudiantes logran identificar qué y cuáles aspectos son medibles, qué información de variación hay disponible y por qué es un fenómeno de variación y no de relaciones de dependencia entre variables, hasta que el relacionamiento entre esta información permita la comprensión generalizada del fenómeno y la ecuación diferencial tenga sentido en cada uno de sus elementos.
Así, la estructura didáctica de las clases se plantea a la luz de la consideración de las siguientes fases: contextualización, modelación de fenómenos de variación, ejercitación, presentación y ejercitación de métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. De manera permanente cada fase se sigue de talleres y actividades de clase que permiten identificar el avance y las dificultades, en especial, sobre la modelación de los fenómenos.
Un ejemplo de lo logrado por los estudiantes se da cuando se logran recrear historias completamente sustentadas en la solución del sistema; un estudiante del curso propone el siguiente fragmento de la siguiente “tragedia de amor”:
Varios resultados de este tipo permiten avanzar en el desarrollo del curso, al evidenciar un reconocimiento en la lectura de las trayectorias resultantes del modelo.
Los resultados de los estudiantes permiten evidenciar que los desempeños en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias o sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias resultan un poco más naturales cuando la prelación en su aprendizaje fueron los fenómenos. Usualmente, la solución es descontextualizada y cargada de dificultad analítica más que de complejidad natural sobre la realidad que explica, lo que podría estar llevando a los estudiantes a perder de vista el sentido de la primera o segunda o incluso tercera variación de una variable dependiente. Además, esto usualmente se hace de manera manual y tediosa, lo que genera una prevención frente a la posibilidad de su aprendizaje y, sobre todo, de su posterior uso.